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-- 妖精現実 記事もくじ z | サイト案内 ? 最新記事 MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 ( 2019-10-20 ) BES 1.7.7 ( 2017-12-03 ) -- 矛盾を無理矢理弁護！ a 大学教授、円周率を計算し過ぎて逮捕 b 宇宙人は地球人からのメッセージに興味を持つか c 社会に感染する異端、星に感染する異端 d 蚊の妖精学 e 日本語を勉強したいの？ f MAD美味しんぼ g 逃げちゃおぜ、世界の中に h なぜマイナス×マイナス＝プラス？ i 楕円曲線で因数分解 j 妖精の国からのお知らせ k フェアリーランド l -- 掲示板 y -- [ 新着記事 | 数学・プログラミング | 天文・暦 | シリア語・Unicode・詩 | ジョーク | 漫画・アニメ | 字幕 | 哲学・ファンタジー | 全記事 ] チラ裏コーナー （ 過去のチラ裏 野蛮な解法 -- ） 2020-09-30 x^2−10y^2=89 について u = 19+6√10。弱い上界（2018年版）は58、この範囲を検索すると (x,y) = (27,8), (33,10) の2種類の解が得られる。2020年7月26日の強い上界は33なので、実際には33まで探せば十分で、この場合、同じ結論が得られる。この2種類の解は、本質的に異なるのだろうか、それとも本質は同じで、単に実二次体の単数倍による「粗製乱造」だろうか。第1解から、任意の整数 k に対して x k + y k √10 = (27+8√10)(19+6√10) k は、第1解と本質的に同じ。k = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 についてこれを計算すると x −3 + y −3 √10 = (27+8√10)(19+6√10) −3 = 46593 − 14734√10 x −2 + y −2 √10 = (27+8√10)(19+6√10) −2 = 1227 − 388√10 x −1 + y −1 √10 = (27+8√10)(19+6√10) −1 = 33 − 10√10 x 0 + y 0 √10 = (27+8√10)(19+6√10) 0 = 27 + 8√10 x 1 + y 1 √10 = (27+8√10)(19+6√10) 1 = 993 + 314√10 x 2 + y 2 √10 = (27+8√10)(19+6√10) 2 = 37707 + 11924√10 x 3 + y 3 √10 = (27+8√10)(19+6√10) 3 = 1431873 + 452798√10 となるので x = 27, 33, 993, 1227, 37707, 46593, 1431873 などは「符号を無視すれば、本質的には同じ」。符号を無視しなければ、33 + 10√10 は (27−8√10)(19+6√10) に等しく、つまり (33,10) は (27,8) と同値ではないが (27,−8) と同値。 「2種類」の解といっても自動的に (27,±8), (33,±10) の「4種類」が得られている。その4種類を同値類で分類すれば2種類しかないので、これは冗長（重複検出）だろう。ここで「2組の解が同値」というのは「それらに対応する2個の代数的整数が、単数倍の違いしかない」という意味。 従って、2020年7月26日に改善された上界は、ある意味、まだ最善ではない。これについて、7月30日に次のことが観察された。拡張ペル方程式の解においては x と y の符号はどうでもいいので、どちらも正と仮定して差し支えない。それに対応する次の数も正。 A = x + y√D > 0 もし n（上の例の89に当たる数）が正なら、 B = x − y√D = n/A も正で、既存の証明によれば x は (A+B)/2 で上から押さえられ、A ≤ √(nu) であることも分かっている。ゆえに A + B = A + n/A = (A^2 + n)/A ≤ (nu + n)/√(nu) = n(u + 1)/√(nu) の 半分 で x は上から押さえられる（♣）。上記の例では、その値は約29.8であり、すなわち29以下の範囲を検索すれば十分。これによって、冗長な (33,10) を排除できる。 この結果についても、当時コンラッド兄弟にメールしたのだが、Keith Conrad の考えは「nが正でも負でも成り立つ上界の方が好ましいと思うので、7月26日版を使いたい」というものだった。「できれば一般的に成り立つ式の方がいい」（場合分けは美しくない）というのは当然だし、今のバージョンが以前のバージョンより強い（改良されている）のも確かだが、少なくともnが正の場合に限れば、実はさらに改良の余地がある。当時それ以上深く考えなかったが、とりあえず2カ月後の今、「再改良版」がxの検索において意味を持つ例が見つかった。 x^2−10y^2=89 の解は、旧バージョン・現行バージョンどちらの不等式でも (x,y) = (27,8), (33,10) の2種類が検出されてしまうが、これは冗長。（♣）の上界を使うと、(x,y) = (27,8) だけが検出されて、都合がいい。 のみならず、 x 2 − 23 y 2 = 2 について（♣）の上界はちょうど 5.0 だが、解は x=5 なので、これは最良の上界、すなわち解の上限を与えてくれるようだ。 2020-09-29 コンラッドの上界（2020年7月26日）はxについて最善？ x 2 − 23 y 2 = 2 の最小の正の整数解は x = 5, y = 1 。 このとき u = 24 + 5√23 であり √2 × (1+√ u ) / 2 ≈ 5.6 なので | x | ≤ 5 の範囲を検索すれば 十分 だが、上記のように求めるものは x = 5 なので、この範囲を検索することが 必要 。同様の状況は x 2 − 3 y 2 = 6 についても発生。どちらのケースでも r の小数部分…間隔1で並ぶ「点・点・点」（ちゃんと説明してない概念）…の端数がちょうど 1/2 になる。 別の角度から言うと、2018年版の「無印」コンラッドの上界 √( m u ) を半分にすることはできない。つまり √( m ) × √( u ) / 2 では範囲を押さえ切れず √( m ) × ( 1+ √ u ) / 2 だと範囲を押さえられる。 1+ を消せれば式がスッキリするのだが、そうは問屋が卸さない。 m に対して…という条件を付ければ、もしかしたら消せるかもしれないが… これは x の範囲についての不等式であり、 y の範囲についての不等式は、場合分けによって改善できるかもしれない。もっとも、その実用性は疑わしい。 y のサイズは 1/√ D なので、例えば D が100くらいなら、素朴に考えると y 側を検索した方が範囲が10分の1になって、10倍の高速化が見込まれる。でも x 2 − D y 2 = n ということは、 x 2 − n が D の倍数ということ。 x 側検索では D の倍数だけを考えればいい。 D が100くらいなら、大ざっぱな感覚として候補が100分の幾つかに絞れるはず。 y 側検索による10倍の高速化より効率的。 D が大きくなればなるほど、ますますそうなるのでは…。 y の不等式に改善の可能性があるのは事実だが、少なくとも一般の場合においては、どう頑張っても本質的に x 側検索より得にならないようだ。-- 2020-09-28 中学生でも分かる？コンラッドの不等式（メモ） ここで「 コンラッドの不等式 」というのは、Conrad が発見したのかどうかは知らないが、Brian Conrad が書いた数学のテキストで証明されている不等式。 （説明）・・・ 「nを0ではない整数、Dを平方数ではない正の整数とする。x^2−Dy^2 = n （☆）の整数解 x, y が存在するか。存在するなら一般解を求め、存在しなければ存在しないことを証明せよ」というタイプの問題を「拡張ペル方程式」という。 ここで n と D は、問題ごとに固定されている。例えば「 x 2 − 109 y 2 = 12 に整数解があるか。あるなら求めなさい」というタイプの方程式を考えている。 今 s と t を s^2−Dt^2 = 1 を満たす正の整数として（これは必ず存在する）、u = s+t√D, m = |n| と置く。（☆）に解があるなら、その一つは必ず |x| ≤ √(mu) の範囲にあり、本質的に異なる2種類以上の解があるとしても、必ずそれらは全部この範囲に現れる。これが「コンラッドの不等式」（2018年版）の概要であり、つまり「0以上、√(mu) 以下の整数を順に（☆）のxに入れて、yが整数になるかどうかを調べる」という単純処理によって、拡張ペル方程式は、原理的には有限時間で100%解ける。「解ける」というのは、もちろん「解なし」が答えになる場合も含む。 ・・・（説明終わり） これは素晴らしい。そのような不等式がないと、どれだけ（☆）の解を探しても…例えば「0以上1兆以下のどの整数をx, yに入れても（☆）は成り立たない」としても…「もしかすると1兆より大きい解があるのかもしれない」という可能性を否定できず、問題が有限時間で解決しないのだから。しかしコンラッドの不等式（2018年版）には短所もあった。それは「この範囲を探すと、本質的に同じ2組の解が重複して別々に検出されてしまうことが多い」ということ。「本質的に同じ」かどうかは、別途チェックすればいいことなので、大きな妨げにはならないのだが…。実は、この不等式の上界は改善できる。√(mu) まで探さなくても、およそ半分の範囲、(1+√u)√(m)/2 まで探せば十分（一定条件下では、この上界をさらに改善できる可能性がある）。半分の範囲で十分なのに、その2倍の範囲まで探していたのだから、2018年版で重複検出が起きやすかったのは当然と言えるだろう。この改善は比較的最近…今年（2020年）の7月26日（日本時間では27日朝）に発見された。 「ごく普通の高校生にも十分理解できる」ような普通の言葉で説明可能なので（数学が好きなら中学生でも分かる）、できれば近々一般向けの記事にしたい…とそのときチラ裏に メモ したが、それっきりになっていた。しかし今日、9月28日になって、コンラッドの証明を簡単化して、中学生でも分かるように説明できるかもしれない道筋を思い付いた。オリジナルのコンラッドの証明は、代数的整数論を応用するもので、それなりに難しいのだが、一応、ベクトルの線型独立の概念があれば、あとは対数関数の初歩だけで足りる（二次体や基本単数やノルムの概念を使わずに証明可能）。高校生なら、ベクトルの足し算は普通に知っているのだから、一応理解に支障ないはず。…とはいえ「平面上で、線型独立な2個のベクトルの線型結合で任意の点は表現可能」というのは（知っている人にとっては当たり前のことだが）予備知識を仮定しない一般向けの説明としては、ちょっとむずい…。ベクトルの概念から順に説明するのは可能だが、かなり長くなるし、線型独立を1回使いたいだけのためにそれをやるのは大げさでもある。代わりに、次のようにしたら、分かりやすいかな…と。 「 任意の2個の実数AとBが与えられたとき、A=q+r, B=q−r を満たす実数 q, r が存在する 」…これなら中学生でも理解できそうだよね。普通に連立方程式を解けば q=(A+B)/2, r=(A−B)/2 となり、確かに条件を満たしている。 で（☆）の解 x, y があったとして A = log |x+y√D|, B = log |x−y√D| について同様のことを考えると、 q = (log |x+y√D| + log |x−y√D|)/2 = (log |x^2−Dy^2|)/2 = (log m)/2 は固定され、r についてもある値になるが、もし（☆）が解を持つなら「rの絶対値が1/2以下であるような解が必ずある」。これだけでは全然説明になってないが、とりあえずメモ。（☆）に解が1個でもあれば、それと本質的に同じ解が無限個あって、それらについて log |x+y√D| の値を考えると、数直線上で間隔1できれいに並ぶ点・点・点になる。 間隔1で並ぶので、どう配置しても、どれか1個が幅1の区間 (−1/2, 1/2] に入る 。これが証明の核心かも。ここで log の底は何でもいいのだが、u を底とするのが、上記の簡単化の「みそ」。 中学生にも分かるようにするためには log を説明する必要があるが、それは比較的簡単にできるだろう。 新着記事 MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 ( 2019-10-20 ) s 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。 ばびっと数え歌 でかい数編 ( 2019-09-01 ) l 31桁の 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000（＝100穣）までの数え歌。日本語・英語・SI接頭辞・2進数付き。 ( z a ) b = z a b の成立条件 ( 2019-06-09 ) m ( z a ) b = z a b は一般には不成立。ではどういう条件で、この等式が成り立つか。 ( z a ) b と z a b は、どういう関係にあるのか。「巻き戻しの数」（ unwinding number ）は、この種のモヤモヤをすっきりさせるための便利なコンセプト。 〔最終更新＝ v3 : 2019年7月28日〕 ツンデレ素数 （チラ裏3題） ( 2019-05-13 ) 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